Wyimaginowany argument funkcji gamma

1. Czy możesz użyć funkcji gamma dla liczb złożonych?
2. Jak znaleźć funkcję gamma o liczbie złożonej?
3. Jaka jest wartość gamma γ ½?
4. Jaka jest wartość γ 2?

Czy możesz użyć funkcji gamma dla liczb złożonych?

Funkcja gamma jest rozszerzona na wszystkie liczby złożone, z prawdziwą częścią >0, z wyjątkiem zerowych i negatywnych liczb całkowitych. Rysunek 1 podaje krzywą funkcji gamma (równ. 2). Przy ujemnych liczbach całkowitych funkcja gamma ma proste bieguny, co czyni ją funkcją meromorficzną (ryc. 1).

Jak znaleźć funkcję gamma o liczbie złożonej?

Funkcja gamma jest zdefiniowana przez γ (z) = ∫∞0tz - 1e -tdt, gdy ℜz>0.

Jaka jest wartość gamma γ ½?

Kluczem jest to, że γ (1/2) = √π.

Jaka jest wartość γ 2?

Podobnie, stosując technikę rachunku różniczkowego znaną jako integracja przez części, można udowodnić, że funkcja gamma ma następującą właściwość rekurencyjną: jeśli x > 0, następnie γ (x + 1) = xγ (x). Z tego wynika, że ​​γ (2) = 1 γ (1) = 1; Γ (3) = 2 γ (2) = 2 × 1 = 2!; Γ (4) = 3 γ (3) = 3 × 2 × 1 = 3!; i tak dalej.